a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2x+7=-\dfrac{1}{2}x+2\)

=>\(2x+\dfrac{1}{2}x=2-7=-5\)

=>2,5x=-5

=>x=-2

Thay x=-2 vào y=2x+7, ta được:

\(y=2\cdot\left(-2\right)+7=7-4=3\)

Vậy: A(-2;3)

c: Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x+7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-3,5\end{matrix}\right.\)

Tọa độ C là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\dfrac{1}{2}x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\dfrac{1}{2}x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(4;0)

A(-2;3); B(-3,5;0); C(4;0)

\(AB=\sqrt{\left(-3,5+2\right)^2+\left(0-3\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\)

\(AC=\sqrt{\left(4+2\right)^2+\left(0-3\right)^2}=3\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{\left(4+3,5\right)^2+\left(0-0\right)^2}=7,5\)

Vì \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3\sqrt{5}}{7,5}\)

=>\(\widehat{ABC}\simeq63^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ACB}=90^0-63^0=27^0\)

d: Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+3\sqrt{5}+7,5=\dfrac{9\sqrt{5}+15}{2}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\cdot3\sqrt{5}=\dfrac{45}{4}\)

b: Tọa độ giao điểm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x-1=\dfrac{2}{3}x+1\\y=\dfrac{2}{3}x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{12}{5}\\y=\dfrac{13}{5}\end{matrix}\right.\)

Bài 1: 

a) Vì A là giao điểm của (d) và (d') nên hoành độ của A là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm có hai vế là hai hàm số của (d) và (d')

hay x=2x+2

\(\Leftrightarrow x-2x=2\)

\(\Leftrightarrow-x=2\)

hay x=-2

Thay x=-2 vào hàm số y=x, ta được: 

y=-2

Vậy: A(-2;-2)

Ta sẽ biểu diễn lại (d)

Có (d) 2x + y - a² = 0

=> (d) y = -2x + a² 

1, Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của pt

\(-2x+a^2=ax^2\)

\(\Leftrightarrow ax^2+2x-a^2=0\)(1)

Ta có: \(\Delta'=1+a^3>0\forall a>0\)

Nên pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

=> (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

Có \(S=-\frac{2}{a}< 0\forall a>0\)

   \(P=-a< 0\forall a>0\)

=> A và B nằm bên trái trục tung

2, Theo Vi-et \(x_A+x_B=-\frac{2}{a}\)

                    \(x_A.x_B=-a\)

Khi đó: \(T=\frac{4}{x_A+x_B}+\frac{1}{x_A.x_B}\)

                 \(=\frac{4}{\frac{-2}{a}}+\frac{1}{-a}\)

                \(=-2a-\frac{1}{a}\)

                 \(=-\left(2a+\frac{1}{a}\right)\)

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta được

\(T=-\left(2a+\frac{1}{a}\right)\le-2\sqrt{2a.\frac{1}{a}}=-2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2a^2=1\)

                       \(\Leftrightarrow a^2=\frac{1}{2}\)

                       \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a>0\right)\)

Vậy ...........

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-\dfrac{1}{2}x^2=-\dfrac{1}{2}x-1\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Thay x=2 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{-2^2}{2}=-2\)

Thay x=-1 vào (P), ta được:

\(y=-\dfrac{1^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\)

a) 

b) Ta có đường thẳng đi qua điểm H(0;-5) nên phương trình đường thẳng đi qua H là:

\(y=0x-5\Rightarrow y=-5\) 

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=-5\) và \(y=-x\) là:

\(-5=-x\)

\(\Rightarrow x=5\)

Tọa độ điểm A là (5;-5) 

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=-5\) và \(y=-\dfrac{1}{2}x\) là:

\(-5=-\dfrac{1}{2}x\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}x=5\)

\(\Rightarrow x=5:\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=10\)

Tọa độ điểm B là (10;-5) 

c) Ta có: A(5;-5) và B(10;-5) 

Độ dài đường thẳng AB là \(10-5=5\left(đvđd\right)\) 

Có A(5;-5) ⇒ HA = 5 (đvđd) 

Xét tam giác OHA vuông tại H áp dụng định lý Py-ta-go ta có: 

\(OA^2=HA^2+OH^2\) (tọa độ điểm H(0;-5) nên OH = 5 đvđd) 

 \(\Rightarrow OA=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\left(đvđd\right)\) 

Có B(10;-5) ⇒ HB = 10 (đvđd) 

Xét tam giác OHB vuông tại H áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(OB^2=HB^2+OH^2\)

\(\Rightarrow OB=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\left(đvđd\right)\)

Chu vi: \(C_{OAB}=AB+OA+OB=5+5\sqrt{2}+5\sqrt{5}\approx23,25\left(đvđd\right)\) 

Diện tích: \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OH\cdot AB=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot5=12,5\left(đvdt\right)\)